Quem foi Pitágoras?
Pitágoras, filósofo e matemático grego, nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno de Tales. Há registro, porém, de que se mudou para o sul da Itália (na época essa região pertencia ao mundo grego) com cerca de 50 anos de idade e fundou em Crotona (colônia grega na península itálica) um núcleo de estudos, cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental.
Os ensinamentos veiculados nessa escola eram tidos pelos participantes como bastante preciosos e, por isso, os encontros de estudos eram mantidos em segredo. Supõe-se que estes estudos abarcassem diversos aspectos do conhecimento, da Filosofia à Matemática e a Astronomia. É sensato crermos, também, que grande parte desses ensinamentos tenha se perdido ou se desvirtuado, à medida que eram retransmitidos. O que se sabe é que as atividades do grupo geraram desconfianças e que Pitágoras precisou fugir da região na última década da sua vida.
Assim que ele morreu, os adeptos de Pitágoras proclamaram seus dons sobrenaturais. Como muitos sábios da Antiguidade clássica, Pitágoras tem seu perfil traçado em obras que atravessaram os séculos. Traduzidos, censurados ou rescritos por gerações de escribas, cronistas e historiadores, esses livros provavelmente não seriam reconhecidos por seus primitivos autores. Entretanto, eles permitem estabelecer com segurança a existência de alguns homens como Aristóteles e Hipócrates. Infelizmente o mesmo não aconteceu com outros grandes nomes, que os próprios antigos não saberiam separar da lenda.
Este é o caso de Pitágoras, um personagem que os autores modernos mencionam com grande cautela, para evitar deslizes mais sérios. Os dados biográficos disponíveis são frequentemente contraditórios, quando não nitidamente fantasiosos. De um modo geral, esses dados não merecem confiança. Alguns textos falam de uma infância feliz, vivida entre os maiores filósofos da época, em estudos árduos e profundos, que revelam "uma precocidade realmente extraordinária". convenhamos que isso tudo exige muito da imaginação do leitor. Porém, se Pitágoras existiu, deve ter nascido por volta do século VI a.C. De qualquer forma, o que certamente existiu foi a escola filosófica chamada pitagórica, sobre a qual os cronistas estão de acordo.
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas. Da observação dos astros surgiu-lhes a ideia de que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Com essa visão, eles também concluíram que a Terra é esférica, uma estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central.
O pressuposto filosófico de que os números são o modelo das coisas dominou a escola pitagórica. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.
Dessa maneira eles desenvolveram a teoria dos números figurados, num esforço para conceber o número em função do espaço, e vice-versa. Os números eram representados através de agrupamentos de pontos, formando figuras. Havia, por exemplo, os números quadrados, como 4 e 9. Cada ponto, símbolo de uma unidade e "átomo" matemático, era circundado por um espaço vazio, não admitindo nenhum fracionamento. A reunião desses pontos fazia-se de acordo com leis bem definidas, desenvolvendo-se as figuras de geometria baseada no número inteiro, a aritmogeometria. Em consequência, os números eram "lineares", "planos" e "sólidos". Cada um deles podia, certamente, assumir diversas formas, mas havia uma que os caracterizava. O número 7, por exemplo era primo e linear, o 4 plano e o 8 sólido.
A formação de números figurados obedecia à regra geral na qual deviam ser obtidos, não através de multiplicações, mas por adições de termos desiguais, mediante somas de séries. Os mais simples entre os números planos eram os triangulares e os quadrados. Os números triangulares originavam-se pelas somas dos primeiros números inteiros. Logo, eram triangulares 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10 etc. Os quadrados, por sua vez, eram obtidos pela soma dos números a partir da unidade: 1; 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 1 6; etc.
Outras descobertas
Apesar de todo o misticismo, os pitagóricos eram grandes matemáticos e descobriram propriedades interessantes sobre os números. Por exemplo, os chamados números perfeitos: a soma dos divisores de determinado número (com exceção dele mesmo), é o próprio número.
Exemplo: 1, 2, 3 e 6 são os divisores de 6 e 1 + 2 + 3 = 6
Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos (há obscuridade que cerca o pitagorismo devido ao caráter religioso e secreto da irmandade) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo.
A maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos imediatos, diz respeito à relação existente nos triângulos retângulos, que consiste em provar que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Os egípcios já sabiam que um triângulo cujos lados são 3,4,5 têm angulo reto, mas os pitagóricos foram os primeiros a observar que 32+42=52, e chegaram a uma prova da proposição geral: a2=b2+c2.
Curiosidades
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O escândalo dos números irracionais
A primitiva concepção pitagórica de número apresentava limitações que logo exigiriam dos próprios pitagóricos tentativas de reformulação. O principal impasse enfrentado por essa aritmogeometria baseada em inteiros (já que as unidades seriam indivisíveis) foi o levantado pelos números irracionais.
Assim, a relação entre o lado e a diagonal do quadrado (que é a da hipotenusa do triângulo retângulo isósceles com o cateto) tornava-se "irracional", aquelas linhas não apresentavam "razão comum" ou "comum medida", o que se evidenciava pelo aparecimento na tradução aritmética da relação entre elas, de valores sem possibilidade de determinação exaustiva, como V¯². O "escândalo" dos irracionais manifestava-se no próprio teorema de Pitágoras (o quadrado construído sobre a hipotenusa é igual a soma dos quadrados construídos sobre os catetos).
Com efeito, desde que se atribuísse valor 1 ao cateto de um triângulo isósceles, a hipotenusa seria igual a V¯². Ou então, quando se pressupunha que os valores correspondentes à hipotenusa e aos catetos eram números primos, acabava-se por se concluir pelo absurdo de que um deles não era afinal nem par nem ímpar.
Pode-se imaginar com que decepção os pitagóricos constataram a existência de números - os irracionais - que não se enquadravam perfeitamente no edifício de sua "concepção numérica" do Universo. Inicialmente, as quantidades irracionais foram qualificadas como indizíveis, numa evidente alusão à confusão que trouxeram: os irracionais significavam um verdadeiro malogro da aritmogeometria, uma insuficiência na linguagem e nos símbolos.
| Os conhecimentos desenvolvidos por Pitágoras no estudo da Acústica mantêm-se válidos até hoje. Ele descobriu que a altura de um som tem relação com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz. Por exemplo, se dobrarmos o tamanho de uma corda que produz a nota dó, obteremos a mesma nota, mas oitava mais grave. Ele ainda identificou as subdivisões necessárias para se obter as demais notas. |
O reconhecimento do fracasso e sua aceitação figuram entre os pontos de honra da escola pitagórica, que nisso foi pouco imitada ao longo das épocas. Surpreendentemente, eles admitiram estar diante de dificuldade insuperável. Apesar desses impasses - e em grande parte por causa deles - o pensamento pitagórico evoluiu e expandiu-se, influenciando praticamente todo o desenvolvimento da ciência e da filosofia grega.